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Histoire de cake

26 novembre 2007

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La semaine dernière, assis sur un banc dans un square du Marais, j’ai assisté à une saynète – somme toute assez classique –, dont les protagonistes étaient une mère et ses deux jeunes enfants (un rouquin turbulent, une blondinette). C’était l’heure du goûter. Il s’agissait pour la mère de partager en deux une sorte de cake au fruit. Munie d’un petit couteau de poche elle s’exécuta avec application, tâchant de se concentrer sur l’équité du partage, sous l’oeil affamé des deux mouflets qui trépignaient. Hélas, un morceau se trouva sans doute très légèrement plus gros que l’autre et il y eut dispute. Rapidement ça s’envenima. Les pelles, les poupées, puis les morceaux de cake finirent par voler au milieu des cris et des petits mots cruels. Fin de la saynète. On rentre à la maison. (Heureusement, ça ne se passe pas toujours comme ça.)
Il y a pourtant une solution pour éviter ce genre de problème. Une solution – pour certains connue empiriquement –, mais dont l’édification théorique a plus d’un demi siècle. Elle nous vient de deux illustres savants de la guerre froide, John Von Neumann, le père de la Théorie des Jeux notamment ; et John Nash, mathématicien nobellisé en 1994, qui apporta une contribution essentielle dans l’étude du « point d’équilibre » ou « point selle » d’un jeu à « n joueurs parfaitement rationnels » (ici, deux enfants gourmands).
Pour reprendre la saynète du square, ce qu’il aurait fallu pour éviter les histoires, c’est donner le couteau à l’un des deux enfants pour qu’il partage lui-même le cake ; et que ce soit l’autre enfant qui choisisse la part qu’il veut. Mettons que ce soit le garçon qui coupe. Comme il sait que sa soeur va vouloir la plus grosse part, il va s’arranger pour que les deux parts soient rigoureusement égales. Si tel n’est pas tout à fait le cas – il y a toujours une part « légèrement » plus avantageuse que l’autre – et que sa soeur prend la plus grosse, il ne pourra s’en prendre qu’à lui même. L’arbitrage est en quelque sorte intégré au « jeu à deux joueurs ». Et tout le monde est content. (La situation admettant un « point d’équilibre de Nash ».)

Un équilibre de Nash se définit comme un ensemble de stratégies (une par joueur) tel qu’aucun des protagonistes ne peut améliorer sa propre situation compte tenu des stratégies adoptées par les autres. Il s’agit d’un critère de stabilité puisqu’il implique l’absence généralisée de regret : à l’équilibre de Nash, aucun joueur n’a de regret étant donné ce qu’ont fait les autres joueurs.
Les manifestations socio-économiques de ce principe – dont l’étude mathématique sortirait largement du cadre de ce blog (et de mes compétences) – sont captivantes. Et parfois épineuses lorsque les enjeux sont bien supérieurs au destin de deux malheureux morceaux de cake. (Quand ont parle, par exemple, de « droit d’ingérence » en cas de conflit territorial entre deux ou plusieurs Etats…)

Un autre aspect des « jeux à n joueurs », plus complexe mais pas moins intéressant, incarnant cette fois le conflit entre l’intérêt individuel et l’intérêt collectif, trouve son illustration dans le dilemme dit « du prisonnier ». (Où par exemple il est démontré qu’un conflit atomique planétaire déclaré est – heureusement – assez peu probable : l’intérêt collectif étant une meilleure option que la trahison individuelle.)

Développement dans un prochain post. (en 2008, paniquez pas :))
Et reprenez du cake.


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